課程大綱：泛函分析—空間理論培訓
第一單元 距離空間的基本概念
1.1 距離空間的定義
1.2 距離空間的例
1.3 距離空間中的收斂
第二單元 距離拓撲與可分性
2.1 開集
2.2 閉集
2.3 稠密集
2.4 可分性
2.5 連續映射
第三單元 完備的距離空間
3.1完備性的定義
3.2完備空間的性質
3.3完備化
3.4壓縮映射原理
3.5壓縮映射原理的應用
第四單元 列緊性與緊性
4.1 列緊性
4.2 緊性
4.3 距離空間—知識小結
4.4 距離空間—典型例題
第五單元 賦范空間的基本概念
5.1 線性空間
5.2 賦范空間的定義
5.3 賦范空間中的距離與收斂
第六單元 賦范空間的性質
6.1 Banach空間
6.2 凸集與子空間
6.3 Schauder基與可分性
第七單元 有限維賦范空間
7.1 等價范數
7.2 賦范空間的同構
7.3 有限維賦范空間的特征
7.4 賦范空間—知識小結
7.5 賦范空間—典型例題
第八單元 內積空間的基本概念
8.1 內積空間的定義與例
8.2 內積的性質
8.3 內積與范數
第九單元 正交與正交系
9.1 正交與正交補
9.2 投影定理
9.3 正交系與Fourier級數
9.4 正交基
第十單元 可分的Hilbert空間
10.1 Hilbert空間的正交基
10.2 Hilbert空間的同構
10.3 內積空間—知識小結
10.4 內積空間—典型例題
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